সূর্যের চারিদিকে শুক্র ও পৃথিবীর কক্ষপথের ব্যাসার্ধের অনুপাত 54 : 75। পৃথিবীতে 365 দিনে এক বছর হলে শুক্রতে কত দিনে এক বছর হবে?

সূর্যের চারিদিকে গ্রহগুলোর কক্ষপথের গতির জন্য বিজ্ঞানী জোহানেস কেপলারের তৃতীয় সূত্র (Kepler's Third Law) প্রযোজ্য। এই সূত্রানুসারে, সূর্যের চারিদিকে ঘূর্ণায়মান যেকোনো গ্রহের আবর্তনকালের (orbital period) বর্গ (T²) তার কক্ষপথের গড় ব্যাসার্ধের (mean orbital radius) ঘনের (R³) সমানুপাতিক।

গাণিতিকভাবে, এটি লেখা যায়:

\(\frac{T^2}{R^3} = K\)

যেখানে, \(T\) হলো গ্রহের আবর্তনকাল, \(R\) হলো কক্ষপথের গড় ব্যাসার্ধ এবং \(K\) হলো একটি ধ্রুবক।

যদি দুটি ভিন্ন গ্রহ (যেমন শুক্র ও পৃথিবী) সূর্যকে কেন্দ্র করে ঘোরে, তবে তাদের ক্ষেত্রে সম্পর্কটি হবে:

\(\frac{T_V^2}{R_V^3} = \frac{T_E^2}{R_E^3}\)

যেখানে, সাবস্ক্রিপ্ট \(V\) শুক্র (Venus) এবং \(E\) পৃথিবী (Earth) নির্দেশ করে।

এই সমীকরণ থেকে আমরা শুক্রের আবর্তনকাল \(T_V\) নির্ণয় করতে পারি:

\(T_V^2 = T_E^2 \times \frac{R_V^3}{R_E^3}\)

\(T_V^2 = T_E^2 \times \left(\frac{R_V}{R_E}\right)^3\)

\(T_V = T_E \times \sqrt{\left(\frac{R_V}{R_E}\right)^3}\)

বা, \(T_V = T_E \times \left(\frac{R_V}{R_E}\right)^{3/2}\)

এখানে প্রদত্ত তথ্যগুলো হলো:

    
• শুক্র ও পৃথিবীর কক্ষপথের ব্যাসার্ধের অনুপাত, \(\frac{R_V}{R_E} = \frac{54}{75}\)
    
• পৃথিবীর আবর্তনকাল, \(T_E = 365\) দিন

এখন, আমরা শুক্রের আবর্তনকাল \(T_V\) নির্ণয় করব। প্রথমে ব্যাসার্ধের অনুপাতটিকে সরল করি:

\(\frac{54}{75} = \frac{18 \times 3}{25 \times 3} = \frac{18}{25}\)

এখন, সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

\(T_V = 365 \times \left(\frac{18}{25}\right)^{3/2}\)

\(T_V = 365 \times \left(\sqrt{\frac{18}{25}}\right)^3\)

\(T_V = 365 \times \left(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{25}}\right)^3\)

\(T_V = 365 \times \left(\frac{3\sqrt{2}}{5}\right)^3\)

\(T_V = 365 \times \frac{(3\sqrt{2})^3}{5^3}\)

\(T_V = 365 \times \frac{3^3 \times (\sqrt{2})^3}{125}\)

\(T_V = 365 \times \frac{27 \times 2\sqrt{2}}{125}\)

\(T_V = 365 \times \frac{54\sqrt{2}}{125}\)

আমরা জানি, \(\sqrt{2} \approx 1.41421356\)

\(T_V = 365 \times \frac{54 \times 1.41421356}{125}\)

\(T_V = 365 \times \frac{76.36753224}{125}\)

\(T_V = 365 \times 0.61094025792\)

\(T_V \approx 222.9932\) দিন

প্রায় 223 দিন।

সুতরাং, শুক্রতে প্রায় 223 দিনে এক বছর হবে।